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Queremos ver si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de $f$ en $x=1$.
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@Valentina Hola Valen! Esos te aparecen cuando aplicas regla de la cadena... Fijate despacito que, para hacer esta derivada:
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ya encontre el error jajajjaja
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Jajajaja buenísimo! Si miras los comentarios más abajo vas a ver que no fuiste la única que tuvo dudas con todo este choclo xD jaja
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@Sofia Hola Sofi! Fijate que eso aparece cuando te toca derivar $\cos(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)$
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@Benjamin Tranqui que ahí me confundi yo entre tanto tipeo jajaja es $(3\pi)^2$, ahí lo acabo de modificar! :D
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@Benjamin Exacto, es por eso! Si quisieras lo podrías escribir así
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@Benjamin Fijate que "lo de adentro" es $3\pi + 3\pi h$. Como vos decís, la variable acá es $h$ así que es "como si fuera $x$" en los otros ejercicios. Entonces, la derivada de $3\pi h$ te queda simplemente $3\pi$ (porque la derivada de $h$ es 1), pero atenti, la derivada de ese primer $3\pi$ que esta sumando, te queda 0! Porque $3\pi$ es simplemente un número y la derivada da cero
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@Benjamin Si vas a la clases donde estan todos los ejercicios de continuidad y derivabilidad de parcial, en la que se llama "Decidir si $f$ es derivable en un punto" está explicado en el minuto 9:00 eso mismo :)
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@Benjamin Hola Benja! Arranco primera por esta duda: Eso lo podrias hacer, pero probaste qué pasaba? Vas a ver que te queda algo medio feo en el numerador (cuando derivas el cociente que está ahí en el numerador), y puede ser que termine saliendo igual, pero seguro es un camino mucho más cuentoso... En general te va a convenir llevarlo a un único cociente antes de aplicar L'Hopital por primera vez
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9.
Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
a) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} & \text{ si } x \neq 1 \\ -3\pi & \text{ si } x=1\end{array}\right.$ en $x=1$
a) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} & \text{ si } x \neq 1 \\ -3\pi & \text{ si } x=1\end{array}\right.$ en $x=1$
Respuesta
⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️
Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función $f$ para ser continua en un $x=x_0$
a) $f(x_0)$ debe estar definida.
b) El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando $x$ tiende a $x_0$ debe ser igual a $f(x_0)$.
Veamos si nuestra $f$ cumple estas tres condiciones cuando $x=1$
a) $f(1) = -3 \pi$
b) Calculamos el $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) $
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} $
Este límite ya lo calculamos en el Ejercicio 6 a), y vimos que el resultado era $-3\pi$
c) $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = f(1)$
Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto $f$ es continua en $x=1$.
Ahora estudiamos derivabilidad en $x=1$. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:
$ f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} $
$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi(1 + h))}-1}{h} - (-3\pi)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}-1}{h} + 3\pi}{h}$
Atenti acá. Primero escribimos esa suma que nos quedó en el numerador como una única fracción:
$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h} }{h} $
$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h^2} $
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi + 3\pi }{2h} $
Seguimos con un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más. Dale, respiramos profundo y derivamos, ahí va...
$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2} $
Al fin se nos fue la indeterminación, entonces tomamos límite:
$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2} = \frac{(3\pi)^2}{2}$
Por lo tanto...
$ f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(3\pi)^2}{2} $
Es decir, $f$ es derivable en $x=1$ y $f'(1) = \frac{(3\pi)^2}{2}$
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Comentarios
Valentina
11 de mayo 21:20
Hola flor que tal? disculpa aun sigo sin entender por que tanto el coseno como el 3pi quedan al cuadrado en esta parte :(
Valentina
11 de mayo 21:21
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Flor
PROFE
12 de mayo 9:41
$e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi$
tenemos que aplicar regla del producto, y podés tomar al "primero" como la exponencial y al "segundo" como el coseno ese multiplicado por $3\pi$, o sea esto:
El primero -> $e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}$
El segundo -> $\cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi$
Entonces, cuando a vos te toque hace "el primero derivado", por regla de la cadena te va a aparecer multiplicando un $\cos(3\pi + 3\pi h)$ y a su vez multiplicando un $3\pi$ (la derivada de lo de adentro del coseno), hay una flor de regla de la cadena acá jaja
Ahora, ese choclo del "primero derivado" va a estar multiplicando "al segundo sin derivar", y ahí tenés los dos cosenos y los dos $3\pi$ multiplicándose, por eso te quedan al cuadrado
Si esto sigue sin quedar del todo claro, quiero que primero pienses cómo hacer esta derivada:
$e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}$
Cualquier cosa, si no termina de cerrar, mandame foto de cómo te está quedando esta derivada, así lo seguimos charlando y termina de quedar claro :)
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Valentina
24 de mayo 14:43
Hola flor, pregunta, cuando usas lhopital por segunda vez, porque el cos y el 3pi te quedan al cuadrado? No entiendo el procedimiento que hiciste ahi
Valentina
24 de mayo 14:52
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Flor
PROFE
24 de mayo 21:23
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Sofia
21 de mayo 18:28
Hola! Te queria consultar porque al derivarlo ami no me quedo al final 3pi cuadrado multiplicado por sen de 3pih mas 3pi, no entiendo de donde sale el cuadrado![]()
Sofia
21 de mayo 18:29
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Flor
PROFE
21 de mayo 20:39
Ahí te puse los pasos en la tablet, a ver si se nota mejor por qué queda el $3\pi$ al cuadrado, porfa avisame si ahora se ve más claro :)
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Flor
PROFE
13 de mayo 12:15
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Benjamin
12 de mayo 20:22
Cuando aplicas l hopital por segunda vez y usas la regla del producto por que queda un menos ahi en vez de un mas??? Osea igual ahora viendolo veo q es por la derivada del cos, pero es necesario o como se cuando tengo que cambiar ese signo de ahi?
Flor
PROFE
13 de mayo 12:13
Pero me parece que es mucho más práctico (y tenés menos riesgo de confundirte después) si ya ese $-$ lo pones adelante por regla de signos y listo.
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Benjamin
12 de mayo 20:17
cuando derivas sen(3pi+3pih), no quedaria cos(3pi+3pi.h) y la derivada de lo de adentro no tendria q ser 3pi+3pi?? h no contaria como un x que al derivarlo queda en 1, o cuenta como si fuese un numero y que cuando lo derivo queda en 0
Flor
PROFE
13 de mayo 12:09
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Flor
PROFE
13 de mayo 12:07
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Benjamin
12 de mayo 20:07
Buenas, tengo unas dudas. No podria tomar el limite cuando e a la sen(3 pi *(1+h)) sobre h -1, como que todo eso da -3pi, y a eso sumarlo al 3pi, y despues decir esto es un 0/0 y despues aplicar l´hopital para que me termine quedando todo 0?
Flor
PROFE
13 de mayo 12:02
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